用Python解决高数所有计算题--sympy求解极限、积分、微分、二元一次方程等

作者：DeepWeaver  Python爱好者社区专栏作者

知乎专栏：深度学堂

https://zhuanlan.zhihu.com/c_172487736

sympy是什么？

Sympy是一个数学符号库（sym代表了symbol，符号），包括了积分，微分方程等各种数学运算方法，为python提供了强大的数学运算支持。对于图像来说，虽然都是做离散的计算，操作最多的还是numpy里的数组，但实际上，这个库包含了积分微分，三角等最基本的数学运算，可以说是工科最基本的，用起来媲美matlab。
--摘自网络

什么是基于符号的计算（符号求解）？

在高数学习中，甚至在工作中，都会面临计算基本微积分的问题。可能你会想，只要写个程序，运用极限法思想，全部都用双精度浮点数就能八九不离十的解出来。但是请看下面：

>>> import sympy, math >>> math.sqrt(2) ** 2 2.0000000000000004 >>> sympy.sqrt(2) ** 2 2

为什么用sympy的计算结果貌似要比math单纯浮点计算后误差小很多，或者说基本没有？

>>> x = sympy.Symbol('x') >>> sympy.sqrt(x) ** 2 x >>> sympy.sqrt(8) 2*sqrt(2)

sympy安装

sudo pip install sympy 或者 sudo pip3 install sympy 如果你用anaconda则 conda install sympy

Let's get started!

首先我们从sympy包中导入所有内建函数

from __future__ import division #如果你用的python2，请加上上面这句话导入python3的除法 #将Python2的除法操作符“/”从整数除法改为普通除法 from sympy import * x = Symbol('x') y = Symbol('y') z = Symbol('z') a = Symbol('a') b = Symbol('b') c = Symbol('c') # 等同于 x, y, z, a, b, c = symbols('x, y, z, a, b, c') # 建议用下面这种表达，因为一个一个导入符号实在是太麻烦了。 f = (2/3)*x**2 + (1/3)*x**2 + x + x + 1

simplify表达式化简

f.simplify() print(f) 结果： x**2 + 2*x + 1

对，就是这么简单。

expand表达式展开

>>> f = (x+1)**2 >>> print(expand(f)) x**2 + 2*x + 1

solve方程自动求解

f1 = 2*x - y + z - 10 f2 = 3*x + 2*y - z - 16 f3 = x + 6*y - z - 28 print(solve([f1, f2, f3])) 结果： {x: 46/11, z: 74/11, y: 56/11}

limit求极限

f = (x+1)**2 + 1 print(limit(f, x, a-1)) 结果：a**2 + 1>>> f = sin(x)/x >>> print(limit(f, x, 0)) # 输入三个值，函数，自变量，自变量取值 1从负方向逼近，dir可以取'+' 或者 '-' >>> print(limit(f, x, 0, dir='-')) 1f = cos(x) dx = Symbol('dx') >>> print(limit(f, x, a)) # 这个的意思是函数f，自变量x用a代入 cos(a) >>> print(limit(f, x, a-dx))# f的自变量x用a-dx代入 cos(a - dx) >>> print(limit((limit(f,x,a)-limit(f,x,a-dx))/dx, dx, 0)) -sin(a) #这就是答案>>> n = Symbol('n') >>> print(limit(((n+3)/(n+2))**n, n, oo)) E

无穷用oo表示，负无穷用-oo

diff求导

diff(你的函数，自变量，求导的次数）

>>> diff(sin(2*x), x) 2*cos(2*x) >>> sin(2*x).diff(x) 2*cos(2*x) >>> diff(sin(2*x), x, 2) -4*sin(2*x) >>> diff(sin(2*x), x, 3) -8*cos(2*x) >>> diff(sin(x*y), x,2,y,3) x*(x**2*y**2*cos(x*y) + 6*x*y*sin(x*y) - 6*cos(x*y))

dsolve()计算微分方程

>>> x = symbols("x", real=True) # 定义符号x 为实数 >>>eq1 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)**2 + f(x), f(x)) >>>eq1 f(x) == -C1/(C1 - exp(x))

如果设置hint参数为“best”,就能得到更简单的显函数表达式

>>> eq2 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)**2 + f(x), f(x), hint="best") >>> eq2 f(x) == -C1/(C1 - exp(x))

intergrate积分计算

1. 定积分

>>> f = x**2 + 1 >>> integrate(f, (x, -1, 1)) 8/3>>> integrate(exp(x), (x, -oo, 0)) 1

2. 不定积分

>>> f = 3*x**2 + 1 >>> integrate(f, x) x**3 + x

3. 双重定积分

>>> f = (4/3)*x + 2*y >>> integrate(f, (x, 0, 1), (y, -3, 4)) 21/2

4. 双重不定积分

>>> f = (4/3)*x + 2*y >>> integrate(f, (x, 0, 1), (y, -x, x)) x

有一份很详细的文档，内容完备，如果你想深入了解，不妨下载下来：

链接:https://pan.baidu.com/s/1wKmK2h9GCGDWUrntkQSZJQ  密码:rb4r

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